ராமானுஜனின் இன்னொரு கணக்கு புரிந்தது

வெங்கட்ரமணன்

---

முப்பத்திரண்டே வருடங்கள் வாழ்ந்து ஸ்ரீனிவாஸ ராமனுஜம் மரித்துப்போய் எண்பது ஆண்டுகளுக்கு மேலாகியும் இன்னும்

அவருடைய கணிதப் புதிர்களில் பல முதல்தர கணிதவியலாளர்கள் மூழ்கியிருக்கிறார்கள். நிரூபணங்கள்

இல்லாமல் ராமானுஜனால் தரப்பட்ட பல தேற்றங்களுக்கு அவ்வப்பொழுது நிரூபணங்கள் தரப்படுகின்றன. இந்த

வரிசையில் இந்த வாரம் விஸ்கான்ஸின் – மாடிஸன் பல்கலைக்கழகத்தைச் சேர்ந்த கார்ல் மாஹ்ல்புர்க் (Karl

Mahlburg) என்ற மாணவன் புதிரின் இன்னொரு துண்டை ஒட்டியிருக்கிறார். உலகின் முன்னணி

கணிதவியலாளர்கள் கார்ல்-லின் இந்த நிரூபணத்தை அற்புதமானது என்று சொல்கிறார்கள்.

ராமானுஜன் ஒரு முதல் தர எண்கணிதவியலாளர் (கணக்கை வைத்து ஜோஸியம் சொல்லும் எண்ணியலாளர் –

Numerologist இல்லை) – Number Theorist. அவருக்கு எண்களின்மீது தீராத ஆவல் இருந்தது, பல

விசேட குணங்களை ராமானுஜன் கண்டுபிடித்தார். இவற்றில் பல மேலைநாட்டுக் கணிதவியலாளர்களால் முன்னமே

கண்டுபிடிக்கப்பட்டிருந்தும் ராமானுஜன் சுயமாக இவற்றைக் கண்டுபிடித்தார், கூடவே முற்றிலும் பல புதிய

கண்டுபிடிப்புகள் அவரிமிருந்து வந்தன. ராமானுஜன் விட்டுச் சென்ற பல புதிர்களில் ஒன்று பகுப்புகளின் பண்பு

குறித்தது.

எந்த ஒரு பெரிய எண்ணையும் அதைவிடச் சிறிய எண்களின் கூடுதலாக எழுதமுடியும். உதாரணமாக, 4 என்பதை

4, 3+1, 2+2, 2+1+1, 1+1+1+1 என்று ஐந்து வழிகளில் எழுதமுடியும். கணித மொழியில் சொன்னால்

4க்கு ஐந்து பகுப்புகள் (Partitions) உண்டு. முறையான கணிதப் பயிற்சி அதிகமில்லாத ராமானுஜன்

இப்படி ஒன்றிலிருந்து 200 வரை எல்லா எண்களுக்குமான பகுப்புகளை எழுதிப்பார்த்தார். அதிலிருக்கும் விசேட

ஒப்புமைகளை அடையாளம் கண்டார்.

4 அல்லது 9ல் முடியும் எந்த எண்ணிற்கும் (உதாரணமாக, 4, 24, 74, 19, 59 போன்றவை) பகுப்புகளின்

எண்ணிக்கை ஐந்தால் வகுபடுகிறது.

5ல் துவங்கி ஒவ்வொரு ஏழாம் எண்ணிற்குமான பகுப்புகள் 7ஆல் வகுபடுகின்றன.

6ல் துவங்கி ஒவ்வொரு பதினோறாம் எண்ணிற்குமான பகுப்புகள் 11ஆல் வகுபடுகின்றன.

எண்களில் இதுபோன்ற அற்புதங்கள் நிறையவிருக்கின்றன. இந்த விசேட குணங்களை வரையறைப்படுத்துவது,

பொதுமைப்படுத்துவது அவற்றுக்கான காரணங்களை நிரூபிப்பது எண்கணிதவியலாளரின் வேலை. ராமானுஜன் விட்டுச்

சென்ற பகுப்புகளைப் பற்றிய இந்த வரையறை இதுநாள்வரை நிரூபிக்கப்படாமல் இருந்தது. இந்த மூன்றுக்குமாகச்

சேர்த்து ராமானுஜன் ஒருக்கம் (Ramanjuan Congruence) என்று பெயரிடப்பட்டது. பல கணிதவியலாளர்கள்

இதை நிரூபிக்க முயன்றார்கள். ஃப்ரீமன் டைசன் (Freeman Dysan) என்ற கணிதவியலாளர் (இவர் முதல்தர

இயற்பியலாளரும்கூட, ஹான்ஸ் பேத்தாவின் (Hans Bathe) மாணவர்), இதைப் புரிந்துகொள்ளும் கருவி ஒன்றை

வரையறுத்தார். முழு எண்களின் பகுப்புகளைச் சிறு குழுக்களாகப் பிரித்து இவற்றுக்குத் தரம் (Rank) என்று

பெயரிட்டார். இதன் அடிப்படையில் 5 மற்றும் 7 க்கான பகுப்புகளைப் புரிந்துகொள்ள முடிந்தது, ஆனால் 11க்கு

இது செல்லுபடியாகவில்லை. 11க்கும் இப்படியான ஒரு தரம் சாத்தியம் என்று நம்பிய டைஸன் இதற்கு

நகைச்சுவையாக க்ராங் (Crank) என்று பெயர் சூட்டினார்.

1990களில் ஜார்ஜ் ஆண்ட்ரூ (George Andrew) (இவர் ராமானுஜத்தின் கண்டுபிடிப்புகளில் உலக அளவில் ஒரு

நிபுணராக அறியப்படுவர்) ஃப்ராங் கார்வன் (Frank Garvan) என்ற இருவர் பல வருடங்களாகத் தேடப்பட்ட

க்ராங் என்ற தரத்தைக் கண்டுபிடித்து 11ன் பகுப்புகளை விளக்கினார்கள். இத்துடன் ராமானுஜன் ஒருக்கங்கள்

நன்றாகப் புரிந்துகொள்ளப்பட்டுவிட்டதாகப் பலரும் கதையை முடித்துவிட்டனர்.

ஆனால் ராமானுஜனின் நோட்டுப்புத்தகங்களைப் (இவை ஐந்து பெரும்பகுதிகளாகப் பதிப்பிக்கப்பட்டு, இவற்றின்

அடிப்படையில் இன்னும் பல ஆய்வுகள் நடந்துகொண்டிருக்கின்றன) படித்துக் கொண்டிருந்த கென் ஓனோ (Ken Ono)

என்ற கணிதவியலாளருக்கு ராமானுஜனின் ஒருக்கங்கள் 5, 7, 11 தாண்டி இன்னும் பல பகா எண்களுக்கும்

சாத்தியமாக இருப்பது பிடிபட்டது. விரைவில் இவற்றைப் பொதுமைப்படுத்தி கென் ஓனோ பகுதி அமைப்புகள்

(Modular Forms) என்ற கருத்தாக்கத்தின் அடிப்படையில் வெளியிட்டார்.

ஓனோ இப்படிப் பல பகா எண்களுக்கும் (Prime Number) ஒருக்கப்பண்பு இருப்பதாக வெளியிட்டபின் எழுந்த

முக்கியமான கேள்வி – அப்படியான எல்லா பகா எண்களின் ஒருக்கங்களையும் சிறுபகுதிகளாகப் பிரித்தெழுதும்

க்ராங்க்கள் சாத்தியமா என்பது. ஆம், இது சாத்தியம்தான் என்று கென் ஓனோவின் மாணவர் கார்ல் மாஹ்ல்புர்க்

இந்த வாரம் நிரூபித்திருக்கிறார்.

* * *

இப்படி எண்களை எல்லாம் புள்ளி வைத்துக் கோலம்போடுவதைப் போல அவற்றின் அமைப்பை அழகுபார்ப்பதைத்

தாண்டி பல உபயோகங்களும் இருக்கின்றன. உதாரணமாக, நீங்கள் இணையத்தின் வழியே மின்வணிகத்தில்

பொருள்களை வாங்கும்பொழுது கொடுக்கும் கடன் அட்டை எண் ஒரு மாபெரும் பகா எண்ணால் பெருக்கப்பட்டுதான்

இணையத்தின் வழியே அனுப்பப்படுகிறது. (இடையில் யார் கையில் சிக்கினாலும் இந்தப் பகா எண் என்ற சாவி

அவர்களிடம் இல்லாவிட்டால் கடன் அட்டை எண்ணை அடையாளம் காண்பது சாத்தியமில்லை). இதைப் போல

அணுக்கரு இயற்பியலில் பல துகள்கள் இருக்கின்றன. இவை இடையறாத இயக்கம் கொண்டவை. ஒரு துகள் அழிந்து

அதிலிருந்து பிற துகள்கள் வருவதும் பின்னர் வேறொரு நிலையில் இவை ஒன்றாகச் சேர்ந்து முதல் துகளை

உருவாக்குவதுமாக அணுக்கருவினுள்ளே நிலையில்லா ஆக்கமும் அழியும் நடந்து கொண்டிருக்கிறது. இந்த

அணுத்துகள்களின் அமைப்பையும் இப்படியான பகுப்புகள் அவற்றின் ஒருக்கம் இவற்றைக் கொண்டு புரிந்து கொள்ள

முடிகிறது. அந்த வகையில் இந்தக் கண்டுபிடிப்பு வருங்காலத்தில் பிற துறைகளிலும் பயனுள்ளதாக இருக்கும் என

நம்புகிறார்கள்.

* * *

vvenkat@sympatico.ca

Series Navigation

---