பென்ரோஸ் வரைபடங்கள். (Penrose diagrams)

This entry is part of 41 in the series 20060421_Issue

இ.பரமசிவன்



நாம் ஏற்கனவே டாக்டர் ரோகர் பென்ரோஸின் (Dr.Rogar Penrose) “பிரபஞ்சத்தணிக்கை” (cosmic censorship) பற்றி சென்ற கட்டுரையில் பார்த்தோம்.பிரபஞ்சத்தில் இந்த பிரபஞ்சத்தாலேயே பார்க்க முடியாத அளவுக்கு கத்தரிக்கோல் போடக்கூடிய வல்லமை ஒற்றைப்புள்ளியாய் சுருங்கிப் போய் விடுகிற அந்த கருந்துளைக்குத்தான் உண்டு. கருந்துளை என்பது இறந்து போய்விட்ட ஒரு விண்மீன் என்கின்றனர் விஞ்ஞானிகள். அதாவது சூரியனின் நிறையைப்போல சுமார் 3 மடங்கு மட்டுமே ஒரு விண்மீனால் தாங்கிக்கொண்டு இந்த விண்வெளியில் சுடர்ந்து கொண்டிருக்க முடியும்.அதன் நிறை அந்த எல்லையைத்தாண்டும்போது தன் ஈர்ப்புவிசையின் எல்லையற்ற தன்மையினால் (gravity tends to infinity) அது நொறுக்கப்பட்டு சிதைந்து அழியத் தொடங்குகிறது.
கிட்டதட்ட ஒன்றரை மடங்கு சூரிய நிறை தான் அந்த எல்லை என்று கண்டுபிடித்து உலகுக்கு சொன்னவர் நோபல் பரிசு பெற்ற நம் தமிழ் நாட்டு விஞ்ஞானி டாக்டர் எஸ்.சந்திரசேகர் தான்.பிரபஞ்சத் தணிக்கை செய்யும் அந்த கத்தரிக்கோலுக்கு “சந்திரசேகர் எல்லை”(Chandrasekar limit) என்று பெயர்.ஒரு விண்மீன்அந்த “நிறை விளிம்பை”(critical mass) மீறும்போது அதன் ஈர்ப்பு ஆரம் (gravitational radius) சுழியை அல்லது பூஜ்யத்தை நோக்கி பாய்கிறது.(tends to zero).உதாரணமாக இப்படி கற்பனை செய்து பாருங்கள்.நம் பூமியைவிட பல லட்சம் மடங்குகளுக்கும் மேல் பெரிய அளவுடையது நம் சூரியன்.அது திடீரென்று ஓரிரு கிலோ மீட்டர் அளவு விட்டம் உடையதாக சுருங்குகிறது என்று வைத்துக் கொள்வோம். அப்போது அதன் நிறை எல்லை கடந்த நிலைக்குப் போய்விடுவதால் அதன் ஈர்ப்பு ஆரம் சுழியாகி இந்த சூரியமண்டலம் முழுவதும் விழுங்கப்பட்டு விடும். அதிலிருந்து ஒளி வெளிவராது. அங்கு செல்லும் பிற விண்மீன்களின் ஒளியும் உறிஞ்சப்பட்டு விடும்.அதாவது அது கருந்துளை யாகி விடும்.

ஐன்ஸ்டீனின் ஈர்ப்பு புலத்துக்கு தீர்வு கண்டதில் முன்னிலை வகிப்பது “கார்ல் ஸ்வார்ஸ்சைல்டு” (Karl Swarzchild) எனும் இயற்பியல் கணிதமேதையின் சமன்பாடுதான்.r எனும் ஈர்ப்பு ஆரம் எல்லையின்மையை நோக்கி பாயும் போது (r –> infinity )வெளியும் காலமும் இழைந்த அல்லது அந்த கால-வெளியின் வளைவியம் (space-time curvature) மிக முக்கியாமானதும் துகளின் “ஆற்றல்-நிறை(அடர்த்தி)யின் சமத்தன்மையை (Equivalence Principle)தீர்மானிக்கக்கூடியதும் ஆன செயலி (function) ஆகும். r—> infinity என்பது இரு திசையிலும் நிகழும் சாத்தியம் இருக்கிறது.பூஜ்யத்தை நோக்கி (r –> 0) அந்த எல்லையற்ற தன்மை பாயும்போது ஆர நீளம் சுருங்கி பூஜ்யமாகிவிடலாம்.”எல்லயற்ற தன்மையை “நோக்கி ஆர நீளம் எல்லையற்ற அளவில் அதிகரிக்கும் போது பிரபஞ்சம் முழுமைக்கும் அது நிரவல் அடைந்து ஒரு பிரம்மாண்டமான கோளகப்படலம் (spheroid) உருவாகலாம். அதனால் தான் நம் பிரபஞ்சத்தோற்றம் கோழிமுட்டை போன்று இருக்கிறது.அது அண்டம் என அழைக்கப் படுவதற்கும் அதுவே காரணம்.அண்டம் என்றால் வடமொழியில் கோழிமுட்டை என்று பொருள். முட்டையா? கோழியா? எது முதலில் வந்தது என்று நம் தமிழ் மொழியில் இன்னும் விடுவிக்கப்படாத ஒரு சொலவடை அல்லது புதிர் மொழி ஒன்று வழக்கில் உள்ளது.ஆம் அந்த “வழக்கு” இன்னும் முடியவில்லை தான்.இந்த வழக்கில் தீர்வு (solution)
சொல்லி அதை அறிவியல் பூர்வமான கோட்பாடு ஆக்கியது ஆல்பர்ட் ஐன்ஸ்டீன் தான் என்பதில் எந்த ஐயமும் இல்லை.அவரது பொது சார்புக்கோட்பாட்டை இன்றளவும் எல்லாவிஞ்ஞானிகளும் வியந்து பாராட்டுகிறார்கள்.இந்த பிரபஞ்சம் தோன்ற முதற்காரணமாயிருந்த பெரு வெடிப்பு (big bang) கதிர்வீச்சுகள் எனும் இறக்கையை சட சடத்துக்கொண்டு வந்த கோழிக்கு உவமை யாக்கி கற்பனை செய்து கொள்வோம். அது இட்ட முட்டையே இந்த பிரபஞ்சம் என்று நாம் மறுபடியும் இன்னொரு கற்பனை செய்து கொள்வோம். விஞ்ஞானிகள் இந்த பெருவெடிப்புக்கு முன் என்ன நிகழ்ந்திருக்கும் என்றும் இந்த பெருவெடிப்புக்குப்பின் உள்ள இறுதி விளிம்பு நிலை என்ன? என்றும் ஆராய்ச்சிகளை தொடர்ந்து கொண்டுதான் இருக்கிறார்கள்.எனவே கோழியா? முட்டையா? என்ற கேள்வி இன்னும் எதிரொலித்துக்கொண்டு தான் இருக்கிறது.
வெப்பம் எனும் ஆற்றலின் அகக்கிளர்ச்சி நிலை தான் (entropy) இந்த பிரபஞ்ச தோற்றங்களுக்கும் முடிவுகளுக்கும் காரணம்.
பெருவெடிப்பு தோற்றம் என்றால் பிரபஞ்சம் முழுமைக்குமே ஒரு கருந்துளையாக (big or mega black-hole) ஆகும் அந்த “பெரு விழுங்கல்” (big crunch) ஒரு இறுதி நிலை ஆகும்.ஒவ்வொரு விண்மீன் தோற்றமும் ஒரு பிரபஞ்சக்குஞ்சின் தோற்றம் என்று எடுத்துக்கொண்டால் ஒவ்வொரு கருந்துளையும் பிரபஞ்சத்தின் சின்ன சின்ன முற்றுப்புள்ளிகள் என்று நாம் எண்ணிக்கொள்ளவேண்டும்.நமது முன்னோர்கள் இந்த பெரு விண்வெளியை “பெரிய உடம்பின்” (ஆகாயம்) அடையாளாமாக சொன்னதில் ஆழ்ந்த பொருள் அடங்கியிருக்கிறது.நம் உடம்பில் கோடிக்கணக்கான உயிர்ச்சிற்றறைகள்(cells) ஒரே சமயத்தில் தோன்றுகின்றன.அப்படியே கோடிக்கணக்கானவை அழிகின்றன.அது போலவே இந்த பிரபஞ்சம் கோடிக்கணக்கான விண்மீன்களையும் கருந்துளைகளையும் தனக்குள் அடக்கியிருக்கிறது.

பிரபஞ்சத்தில் கருந்துளையைப்பற்றி ஆராய்ச்சி செய்வது என்பது பிரபஞ்சத்தை ஒட்டியோ(tangent) அல்லது வெட்டியோ (intersecting) உள்ள இன்னொரு எதிர் பிரபஞ்சத்தை(anti universe)ப்பற்றி நாம் துருவி துருவி ஆராய்வது போல்தான். ஆனால் அது பற்றிய தகவல்கள் நம் தொலை நோக்கி அகங்களின் ஒளிநிறப்பட்டைகளில்(spectra) எதுவும் புலப்படாதவாறு ஒளிக்கதிர்கள் (நம்மால் அனுப்பப்பட்ட ஒளிக்கதிகர்கள் கூட) கருந்துளைகளால் உறிஞ்சப்பட்டு விடுகின்றன.அதாவது அந்த தகவல்கள் நம் பிரபஞ்சத்தால் அறியப்படாதவாறு தணிக்கை செய்யப்பட்டு விடுகின்றன.இந்த பிரபஞ்சத் தணிக்கையைப் பற்றி (cosmic censor) டாக்டர் பென்ரோஸ் அற்புதமாக விளக்கியிருக்கிறார்.
பிரபஞ்சத்தில் தனிமைப்பட்டுப்போன அந்த தனிப்புள்ளி (singularity) பிரபஞ்சத்திற்கு முற்றுப்புள்ளி போட அங்கே குவிகிறது.இந்த பிரபஞ்சம் முழுவதுமே கால-வெளியின் நெசவாக (fabric of cosmos in space-time) ஐன்ஸ்டீனின் பொது சார்புக்கோட்பாட்டின் (general relativity) சமன்பாட்டில் (equation) கணக்கீடு செய்யப்படுகிறது.

டாக்டர் பென்ரோஸ் வரைபடங்கள் (Dr.Penrose diagrams) :-
——————————————————————- –
கோட்பாட்டு இயற்பியல் (Theoretical Physics) விஞ்ஞானிகளுக்கு “எல்லையற்ற தன்மை” என்பது தான்
மிகவும் தொல்லைதரும் தன்மையை உடையதாக இருக்கிறது.கருந்துளை என்பது பிரபஞ்சத்தின் இறுதி விளிம்பு என்ற உண்மையை விவரிக்க ஈர்ப்பின் ஆரம் எல்லயற்ற அளவுக்கு சுருங்கிக்கொண்டே இருப்பதாகவும் ஈர்ப்புக்கு காரணமான நிறை எல்லையற்ற அளவுக்கு மிக மிக அதிகரித்துக்கொண்டே இருப்பதாவும் அமைகின்ற சமன்பாடுகள் நிறுவுவதில் நுட்பமான கணக்கீட்டு சிக்கல்கள் உள்ளன.ஆனால் இதை எளிமையாகவும் அழகாகவும் வரைபடங்கள் மூலம் விளக்கியிருக்கிறார் டாக்டர் பென்ரோஸ்.
எல்லையற்ற கால-வெளிப்படலத்தை ஒரு காகிதத்தின் வரை படத்து எல்லைக்குள் வெளிப்படுத்தி யிருக்கிறார் பென்ரோஸ். காலம் (t) ஆரநீளம் (r) கோளகத்தில் வரும் இரண்டுவித கோணங்கள் (angular spherical coordinates)(அவற்றை p , q என வைத்துக்கொள்வோம்) ஆக நான்கு பரிமாணங்களில் t யையும் r ஐயும் மட்டும் எடுத்துக்கொண்டு மற்றவற்றை லேமினேட் செய்வது போல் அழுத்தி சுருக்கிக்கொண்டு (suppressed) மறைத்துக்கொண்டு காட்டியிருக்கும் வரைபடங்களை அவர் உருவாக்கியிருக்கிறார்.
கீழே வரும் படம் (1) ஐ பாருங்கள்.
படம் (1)


===மின்கோவ்ஸ்கி பிரபஞ்சத்தின் கால-வெளிப்படலத்தில் இரண்டு நிகழ்வுகளுக்கிடையில் உள்ள இடைவெளி தூரத்தை பகுப்பீட்டின் வர்க்க மதிப்பாக ds^2 என்று குறிப்பிட்டு சமன்பாடு உருவாக்கியிருக்கிறார். இதை சிக்கல் ஆய்வின் சிறப்பு செயலியான (a special function of complex analysis) ஒத்தியன்ற உருமாற்றம் (conformal mapping) என்ற வடிவ கணித முறையில்(geometrically) மேலே கண்ட வரைபடத்தில் காட்டியிருக்கிறார். இந்த படம்(1)ல் காணும் முக்கோணம் மின்கோவ்ஸ்கி காட்டும் கால-வெளியின் தூர அம்சங்களை காட்டுகிறது. இதற்குள் இருக்கும் வளைகோடுகள் “மாறாத வளைவு தன்மையை” (constant cuvature) உடையது. ds^2 = 1 என்பது அதையே குறிக்கிறது.இந்த வளைவு மாறாததாய் இருப்பதற்கு புதிய புதிய அதிகரிக்கும் நிலைகளை உடைய எந்தவித முடுக்கங்களும்(accelerations) ஈர்ப்பு ஆற்றலில் இல்லை என்று பொருள். முக்கோணத்தின் தடித்த எல்லைக்கோட்டில் வளைதன்மை பூஜ்யம் அல்லது சுழி ஆகி விடுகிறது.இதுவே படத்தில் சுருக்கி அடக்கிய (compessed infinities) எல்லையின்மை க காட்டுகிறது.இந்த முக்கோணம் முழுவதும் ஒளிக்கூம்பு ஆட்சி செய்யும் பிரதேசம் ஆகும். எந்த புள்ளி அல்லது கோடு வழியே ஒளிக்கூம்பு கடக்கமுடியாதோ அந்த புலமே (domain)இந்த பிரபஞ்சத்தின் விளிம்பு வானம்(horizon) எனும் எல்லை.இதுவே கருந்துளைக்கும் விளிம்புவானம்.ஆனால் இந்த பிரபஞ்சத்துக்கும் அந்த எதிர் பிரபஞ்சத்துக்கும் இது பொதுவான விளிம்புவானமாக இருக்கமுடியாது.ஏனெனில் கருந்துளை
அதன் உட்கிடக்கை அல்லது வெளிப்பரப்பு சம்ப்ந்தப்பட்ட எந்த வித கதிர்வீச்சையும் இந்த (நம்) பிரபஞ்சத்திற்கு அனுப்பாது.அந்த கருந்துளையின் தொடுவானம் என்பது ஒரு மூடு சவ்வு.அதுவும் ஒருவழிப் பாதை போல இந்த தொடுவானப்படலம் ஒரு பக்கமாய் -கருந்துளையின் உட்பக்கமாய் மட்டுமே தெரியும் சவ்வு ஆகும்(one-sided and in-sided membrane of the black hole).அதாவது நம்மால்(இந்த பிரபஞ்சத்திலிருந்து) பார்க்க இயலாது.
படம்(1)ல் வெளியின் எல்லையற்ற தன்மைகளை (spatial infinities) I + லும் I- லும் முறையே எதிர் காலத்தையும்(future) கடந்த காலத்தையும் (past) குறிக்கும் புள்ளிகளாக காட்டப்படுகின்றன.ஆனால் நாம் ஏற்கனவே குறிப்பிட்டது போல் இது 4 பரிமாணங்களை 2 ஆக அமுக்கப்பட்ட(compressed) ஒரு
ஒத்தியன்ற உருமாற்றத்தில் (conformal transformation) காட்டப்பட்டுள்ளது.எனவே நம் பிரபஞ்சத்தில் காலம் போன்ற (time-like) பரிமாணமாய் உள்ள ஒளியின் வேகம் டாக்டர் பென்ரோஸ் குறிப்பிடும்
அந்த ஒற்றைப்புள்ளிகளில் (singularities) கால அம்சத்தை இழந்து வெளிபோன்ற (space-like) பரிமாணத்தை அடைகிறது. அது போல் I^0 எனும் கிடைக்கோடு (horizantal line) “ஸ்வார்ஸ்சைல்டு புலக்கோட்பாட்டின்” படி(Swarzchild Field) கால-வெளியின் துவக்க தூரத்து அம்சத்தை (initial metric) குறிக்கிறது. கால அம்சமும் ஒரு பூஜ்யத்திலிருந்து துவங்குகிறது.அதாவது காலம் இங்கே இல்லை என்று அர்த்தம் கொள்ளப்படக்கூடாது. காலவெளியின் வளைவுஅம்சம் (curvature) இங்கே இல்லை என்பதே அதன் பொருள்.ஆனால் I + , I- எனும் செங்குத்துக்கோடு (vertical line) காட்டும் வெளியின் எல்லையற்ற தன்மையிலும் வளைவு அம்சம் பூஜ்யம் ஆகி அது ஆரம் அல்லது தூரம் இழைந்திருக்கும் ஒளியின் வேகத்தை மீறிய நிலைக்கு போய் வெளி போன்ற நிலக்குள் விழுந்து விடுகிறது.அது ஒளிக்கூம்பை விட்டு வெளியே போய்விடுவதால் பிரபஞ்சமற்ற ஒரு எதிர்நிலைக்கு தாவி விடுகிறது.ஆனால் இங்கே அதாவது I^0 ல் அது ஒளிக்கூம்புவின் உள்ளேயே இருப்பதால் அதை நிகழ்காலத்தின் கிடைக்கோடாக எடுத்துக்கொள்ளவேண்டும். இதுவும் நம் பிரபஞ்சத்தில் இருப்பதால் இந்த நிகழ்வுக்கோடு “உலகக்கோடு” (world-line) என அழைக்கப்படுகிறது. கடந்த காலத்தையும் எதிர்காலத்தையும் பிரிக்கும் காலத்தின் மைய அச்சாக (axis of time) நிகழ்ந்து கொண்டிருக்கும் காலத்தின் நிலைப்பாட்டை (present state of time) இது காட்டுகிறது.இந்த கோடு “இன்றே இங்கே இப்போழுதே” (here-and-now) என்பதை காட்டுகிறது.
ஆனால் ஒத்தியன்ற முறையில் அமுக்கம் அடைந்த இந்த முக்கோணத்தில்(conformal compression to triangle) சரிவான கோடுகள்(slant lines) கோடற்ற கோடு உடைய எல்லையற்ற தன்மைகளை(null infinities) காட்டுகின்றன.மேல் பக்க முக்கோணம் (upper triangle) எதிர்வருங்காலத்தின் எல்லையற்ற தன்மையையும் கீழ் முக்கோணம் (lower triangle) கடந்து சென்ற காலத்தின் எல்லையற்ற தன்மையையும் காட்டுகிறது.இந்த படம் (1)ல் I +லிருந்து I^0 ம் I- லிருந்து I^0 ம் மேலே சொன்ன சரிவான கோடுகள் ஆகும்.இந்த கோடுகள் கூட அமுக்கிக்காட்டப்பட்டிருப்பதால் அதாவது எல்லையற்ற தன்மைக்குள் மறைந்து போய்விடுவதால் அவை சுழியக்கோடுகள் அல்லது கோடற்ற கோடுகள் (null lines)எனப்படுகின்றன. எல்லையற்ற தன்மை பிரபஞ்சத்தின் எதிர்பிரபஞ்சத்தை அடையும்நிலை பிரபஞ்சத்தின்ஒரு விளிம்பு வான நிகழ்வு (event of horizon) ஆகும். இதை டாக்டர் பென்ரோஸ் வடிவ கணிதத்தின் அமுக்க முறையில்(compression geometries) ஒத்தியன்ற உருமாற்ற கணிதக்கோட்பாடுகளையும் (mathematics of conformal transformation) வைத்து விஞ்ஞானிகள் எல்லாம் வியக்கும் வகையில் விளக்கியுள்ளார்.

படம் (2) ல் 45 டிகிரி சாய்வுக்கோடுகளைக்கொண்ட 4 வித பிரபஞ்சங்கள் விவரிக்கப்படுகின்றன.இதில் r = 2 Gm/c^2 என்ற எல்லைக்கோடுகளே கால-வெளியின் (space-time) வடிவகணித இயக்ககரமுடைய உலகக்கோடுகளை (worldlines of geometrical dynamics)த்தீர்மானிக்கின்றன.ஒளியின் வேகம் மீறிய எதிர்-பிரபஞ்சங்கள்(super-luminous anti-universes) பற்றிய கணக்கீடுகளுக்கு டாக்டர் பென்ரோஸ் வரைபடங்கள் ஒரு அற்புத அறிமுகத்தை நமக்கு தருகிறது.அது பற்றி அடுத்தகட்டுரையில் பார்ப்போம்.

E. Paramasivan.
epsi_van@hotmail.com

Series Navigation

இ.பரமசிவன்